Definition

Une matrice est un tableau d'éléments, appelés coefficients, appartenant a un ensemble \(\mathbb{K}\). On note \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) l'ensemble des matrices de taille \(n \times p\) avec \(n\) le nombre de lignes et \(p\) le nombres de colonnes. Si \(p = n\), on peut noter \(\mathcal{M}_n (\mathbb{K})\). On appel ces matrices carrées de taille \(n\). Une matrice carrée est dite diagonale si seuls les coefficients de position \((i,j), i=j\) soient non nuls.

Une matrice carrée est dite triangulaire si seuls les coefficients de position \((i,j), i \ge j\) soient non nuls.
On appel une matrice élémentaire si elle ne possède qu'un seul coefficient non nul, et que celui ci vaux \(1\)

La base canonique d'une matrice est une famille de \(n \times p\) matrices élémentaires, tel que chacune ai son \(1\) a une position différente.

Soit \(A\) une matrice, on note \(A^T\) la transposé, cet a dire le miroir par la diagonale, de la matrice A.
On note \(0\) ou \(0_{n,p}\) la matrice de taille \(n \times p\) dont tous les coefficients sont nuls.
On a que \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel d'élément neutre 0.

Opérations

Multiplication par un scalaire

\[\lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22}\end{pmatrix}\]

Addition

\[ A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{pmatrix} \]

Produit matriciel

Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\)

\[ \displaystyle \forall(i,j) \in [\![1,n]\!] \times [\![1,q]\!], c_{i,j} = \sum_{k=1}^p a_{i,k}b_{k,j} \]
En code, on écrirai :

A = #2d array n*p
B = #2d array p*q
C = #empty 2d arrays n*q

for i in range(n):
	for j in range(q):
		for k in range(p):
			C[i,j] += A[i, k] * B[k, j]

Le produit matriciel n'est pas commutatif. Par contre, on lui reconnais les propriétés suivantes :

• Associativité : \((AB)C = A(BC)\)
• Distributivité de chaque coté : \((\lambda A + \mu B)C = \lambda AC + \mu BC\)
• Element neutre : \(I_n A = AI_p = A\)

Binôme de matrices

On suppose que \(AB = BA\) avec \(B\) et \(A\) deux matrices. On peut alors utiliser le Binôme de newton.
\[ \displaystyle (A+B)^k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} A^j B^{k-j} \]
On obtiens aussi :
\[ \displaystyle A^k - B^k = (A-B)\sum_{j=0}^{k-1}A^jB^{k-j-1} \]

Inverse

L'inverse d'une matrice \(A\) est la matrice \(B\) tel que \(AB = BA = I_n\)
On note \(B = A^{-1}\). L'ensemble de toutes les matrices inversibles est appelé groupe linéaire, et est noté \(GL_n(\mathbb{K})\).
Pour inverser une matrice, on utilise l'algorithme de gauss-jordan.

Changement de base

On considère que chaque colonne d'une matrice est un vecteur dans une base donnée. Si on veux obtenir une même matrice dans une autre base, on peut utiliser la formule suivante :
\[ B = P^{-1}AP \]
avec \(P\) une matrice de passage tel que :
\[ A = PB \]