Définitions

On défini le taux d'accroissement de \(f\) en \(a\), noté \(\tau_a\), la fonction sur \(D \backslash \{a\}\) tel que
\(\tau_a (x) = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\)

On dit que \(f\) est dérivable si \(\tau_a\) admet une limite finie en \(a\).
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle, alors on défini la dérivé de \(f\), noté \(f'\) ou \(\frac{df}{dx}\). Si \(f\) est dérivable, alors \(f\) est continue. Ce n'est pas réciproque.
Les dérivées sont stables par combinaisons linéaires.

Dérivée usuelles

Fonction	Dérivée	Domaine
\(x^\alpha\)	\(\alpha x^{\alpha -1}\)	\(]0, +\infty[\)
\(e^x\)	\(e^x\)	\(\mathbb{R}\)
\(ln(\mid x\mid)\)	\(\frac{1}{x}\)	\(\mathbb{R}^*\)
\(cos(x)\)	\(-sin(x)\)	\(\mathbb{R}\)
\(sin(x)\)	\(cos(x)\)	\(\mathbb{R}\)
\(tan(x)\)	\(\frac{1}{cos^2(x)}\)	\(\mathbb{R} \backslash \{ \frac{\pi}{2} + k \pi \mid k \in \mathbb{Z} \}\)
\(ch(x)\)	\(sh(x)\)	\(\mathbb{R}\)
\(sh(x)\)	\(ch(x)\)	\(\mathbb{R}\)
\(th(x)\)	\(\frac{1}{ch^2(x)}\)	\(\mathbb{R}\)
\(Arcsin(x)\)	\(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)	\(]-1, 1[\)
\(Arccos(x)\)	\(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(]-1, 1[\)
\(Arctan(x)\)	\(\frac{1}{1+x^2}\)	\(\mathbb{R}\)

Hello wooooooorld. Programmed to work and not to feeeeeeel

Operations entre dérivés

Soit \(I\) le domaine de définition de \(u\) et \(D\) le domaine de \(v\).

Fonction	Dérivée	Domaine
\(u^a\)	\(a \cdot u' \cdot u^{a-1}\)	dépend de \(a\)
\(\frac{1}{u}\)	\(-\frac{u'}{u^2}\)	Si \(u\) ne s'annule pas
\(ln \mid u \mid\)	\(\frac{u'}{u}\)	si \(u\) n s'annule pas
\(e^u\)	\(u' \cdot e^u\)	\(I\)
\(cos(u)\)	\(-u' \cdot sin(u)\)	\(I\)
\(sin(u)\)	\(u' \cdot cos(u)\)	\(I\)
\(tan(u)\)	\(\frac{u'}{cos^2(u)}\)	\(I\)
\(u \cdot v\)	\(u'v + uv'\)	\(I \cap D\)
\(\frac{u}{v}\)	\(\frac{u'v + uv'}{v^2}\)	\((I \cap D)/\{x, v(x)=0\}\)
\(u \circ v\)	\(v' \times (u' \circ v)\)	\(I\)
\(u^{-1}\)	\(\frac{1}{u'(u^{-1})}\)	\(I\)

Dérivés successives

On note \(f''\) la seconde dérivée de \(f\), puis, de manière plus générale, \(f^{(n)}\) est la dérivée \(n\)-ième de \(f\).
Si une fonction est dérivable \(n\) fois, alors sa dérivée \((n-1)\)-ième est continue, et toutes ses dérivées jusqu'à \((n-1)\) sont continues.

Formule de Leibniz

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions. On cherche a calculer la dérivée \(n\)-ième du produit de \(f\) et \(g\). On peut alors appliquer la formule de Leibniz qui est similaire a celle du Binôme de newton. En effet :
\[ \displaystyle (f \times g)^n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x) \]