Vocabulaire

Une proposition est un énoncé vrai ou faux. On note V et F (ou 1 et 0) les valeurs logiques que peuvent prendre une telle proposition.

Opérations

Soient \(P\) et \(Q\) deux propositions, on définie :

• La négation : \(non \space P = \overline{P}\)
• La disjonction : \(P \space ou \space Q = P \lor Q\)
• La Conjonction : \(P \space et \space Q = P \land Q\)
• L'implication : \(P \Rightarrow Q\)
• l'équivalence : \(P \Leftrightarrow Q\)

Négation avec quantificateurs

Lors de la négation d'une proposition, les quantificateurs changes, de même que les symboles logiques. Ainsi,

• \(\exists \rightarrow \forall\)
• \(\forall \rightarrow \exists\)
• \(P \rightarrow \overline{P}\)
• \((P \Rightarrow Q) \rightarrow (P \land \overline{Q})\)

Point de vue ensembliste

Soit \(P(x)\) et \(Q(x)\) deux propositions dépendants de \(x\), un élément d'un ensemble \(E\). On note \[ A = \{x \in E, P(x) = 1\}, \space \space B = \{x \in E, Q(x) = 1\}\]
On as alors:

• \(P(x) \Leftrightarrow x \in A\)
• \(P(x) \lor Q(x) \Leftrightarrow x \in A \cup B\)
• \(P(x) \land Q(x) \Leftrightarrow x \in A \cap B\)
• \(P(x) \Rightarrow Q(x) \space \Leftrightarrow A \subset B\)
• \(P(x) \Leftrightarrow Q(x) \space \Leftrightarrow A = B\)

De plus tous les lois sur les ensembles s'appliquent aux propositions.