Definitions

Un ensemble est une collections d'objets, appelés éléments. On note \(x \in E\) l'élément \(x\) appartient a \(E\). L'ensemble vide se note \(\emptyset\). Un ensemble peu en contenir un autre, on le note \(F \subset E\). Si \(E\) est un ensemble, on note l'ensemble de ses sous-ensembles \(\mathcal{P}(E)\). Chaque sous-ensemble est alors appelé une partie de \(E\). A noté que E et \(\emptyset\) sont toujours des parties de \(E\). De plus, on appel partition un ensemble de sous-ensembles disjoints de \(E\) tel que leurs union vale \(E\)

Ecriture des ensembles

Ils existe deux manieres principales d'ecrire des ensembles:

• L'ecriture en extension : \(\{1, 2, 3, 4 ,... \}\)
• L'écriture en comprension : \(\{ x \in \Bbb{R}, x^2 = 4 \}\)

Opérations entre ensembles

Soient \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\).

Intersection : \(A \cap B\)	Union : \(A \cup B\)
Complementaire : \(\overline{A} = \mathcal{C}_E A\)	Difference ensembliste: \(A \backslash B\)
Difference symétrique : \(A \Delta B\)	Disjonction \(\Leftrightarrow A \cup B = \emptyset\)
Produit Cartésien : \(E \times F = \{(x,y), x \in E, y \in F\}\)

Lois sur les ensembles

Soient \(A, B, D \subset E\) :

• \(A \subset (A \cup B), B \subset (A \cup B), (A \cap B) \subset A, (A \cup B) \subset B\)
• \(A \subset B, B \subset A \Rightarrow A = B\)
• Associativité : \(A \cup (B \cup D) = A \cup B \cup D\) et \(A \cap (B \cap D) = A \cap B \cap D\)
• Commutativité : \(A \cup B = B \cup A\) et \(A \cap B = B \cap A\)
• Distributivité : \(A \cup (B \cap D) = (A \cup B) \cap (A \cup D)\) et \(A \cap (B \cup D) = (A \cap B) \cup (A \cap D)\)
• Règles De Morgan : \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\) \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)

Cardinal

Pour un ensemble fini, le cardinal est le nombre délements de ensemble. Il est noté \(Card(E)\).
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles disjoints, alors \[Card(E \cup F) = Card(E) + Card(F)\]
On peut generaliser cette loi, on obtiens :
\[Card(A \backslash B) = Card(A) - Card(A \cap B)\]
\[Card(A \cup B) = Card(A) + Card(B) - Card(A \cap B)\]
\[Card(\overline{A}) = Card(E) - Card(A)\]


De plus : \[Card(E \times F) = Card(E) \times Card(F)\]