Définition

On appel probabilité d'un évènement un réel compris entre 0 et 1. Plus ce nombre tends vers 1, plus la `chance` que cet événement se produise est grande.
Les probabilités ont un fort lien avec l'étude des ensembles mais n'utilisent pas le même vocabulaire.
Cette proximité avec les ensembles amène au fait que les operations entre ensembles et entre évènements sont les mêmes.

Vocabulaire

Terme probabilistique	Terme ensembliste	Notation mathématique
Univers	Ensemble entier	\(\Omega\)
Évènement impossible	Ensemble vide	\(\emptyset\)
Résultat d'expérience	Élément de \(\Omega\)	\(\omega \in \Omega\)
Évènement élémentaire	Singleton	\(\{\omega\}\)
Tribu	Ensemble de sous parties	\(\mathcal{T} \subset P(\Omega)\)
Évènement	Sous-ensemble ou partie	\(A \in \mathcal{T}\)
Evenement contraire	Complémentaire	\(A^c, A\in \mathcal{T}\)
A ou B	Union de A et B	\(A \cup B, (A,B) \in \mathcal{T}^2\)
A et B	Intersection A et B	\(A \cap B, (A,B)\in \mathcal{T}^2\)
A implique B	A inclus dans B	\(A \subset B\)
A et B incompatibles	A et B disjoints	\(A \cap B = \emptyset\)
\(\omega\) réalise A	\(\omega\) inclus dans A	\(\omega \in A\)

On appel expérience aléatoire une expérience pouvant être répété dans les mêmes conditions plusieurs fois et dont l'issue dépend du hasard.
On appel univers l'ensemble des issues possibles d'une telle expérience.

Fonction probabilité

On appel probabilité toute fonction de \(\mathcal{T}\) dans \([0,1]\) qui vérifie :

• \(\forall A \in \mathcal{T}, \quad \mathbb{P}(A) \ge 0\)
• \(\mathbb{P}(\Omega) = 1\)
• \(\forall (A, B) \in \mathcal{T}^2, A \cap B = \emptyset, \quad \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)\)

On appel alors un triplet (\(\Omega\), \(\mathcal{T}\), \(\mathbb{P}\)) un espace probabilisé.

\(\mathbb{P}(A) = 0 \not \Rightarrow A = \emptyset \quad \quad \mathbb{P}(A) = 1 \not \Rightarrow A = \Omega\)

Propriétés élémentaires des proba

1. \(\mathbb{P}(\emptyset) = 0\)
2. \(\mathbb{P}(A^c) = 1-\mathbb{P}(A)\)
3. \(A \subset B \Rightarrow \mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B)\)
4. \(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\)

Probabilité conditionnelles

On appel la probabilité de A sachant B la probabilité de A relativement a B. On la note ainsi :
\[ \mathbb{P}(A|B) = {\mathbb{P}(A \cup B) \over \mathbb{P}(B)} \]

Théorèmes fondamentaux

1. Probabilités composés
\[ \begin{align} \text{Soient }& A_0, A_1, A_2...A_n \\ \text{tels que } &\mathbb{P}(A_0 \cap A_1 \cap A_2 ... \cap A_n) \ne 0 \\ \mathbb{P}(A_0 \cap A_1 \cap A_2 ... \cap A_n) &= \mathbb{P}(A_0)\mathbb{P}(A_1|A_0)\mathbb{P}(A_2|A_1\cap A_0)...\mathbb{P}(A_n|A_{n-1}...\cap A_2 \cap A_1 \cap A_0) \end{align} \]

2. Probabilités complètes
\[ \displaystyle \begin{align} \forall(A_i)_{i \in \mathbb{N}} & \text{ tel que } \forall (i, j) \in \mathbb{N}, A_i \cap A_j = \emptyset \\ \bigcup_{k=0}^n A_k = \Omega \end{align} \]
On appel un tel \((A_i)\) système compet déventements.