Une suite est une application de \(\mathbb{N}\) vers \(\mathbb{R}\). Soit \(u\) une telle application, on note son image par \(n\), \(u_n\) appelé \(n\)-ieme terme de la suite \((u_n)_{n\in \mathbb{R}}\).

Soit une suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\), on considère son image comme une partie des réels. On dit que la suite est minorée, majorée ou bornée si son image l'est.
De plus, elle reste une application, donc les règles de croissance sont applicables.

Les suites sont stables par combinaisons linéaires. On défini aussi le produit de suites comme le produits de leurs termes. (ex. \(\forall n \in \mathbb{N},\quad (u \times v)_n = u_n \times v_n\))

Limites

On ne considère la limite d'une suite que vers \(+ \infty\). On a alors deux cas :

• (\(u_n\)) converge vers \(\mathcal{l}\) si

\[ \forall \mathcal{E} > 0, \exists n_0, \forall n \in \mathbb{N}, n\ge n_0 \Rightarrow \mid u_n - \mathcal{l} \mid <\mathcal{E} \]

• (\(u_n\)) diverge vers \(+ \infty\) (resp. \(- \infty\)) si

\[ \forall M > 0, \exists n_0, \forall n \in \mathbb{N}, n\ge n_0 \Rightarrow u_n > M \]

On considère \(\mathcal{E}\) une "précision", et on dit qu'il existe \(n_0\) tel que a partir de \(n_0\), tous les termes de la suites sont a \(\mathcal{E}\) pres d'un réel \(\mathcal{l}\).

Si une suite converge, sa limite est unique. On a aussi que toute suite convergente est bornée, mais pas l'inverse.

Si deux suites sont convergentes, alors leurs limites sont stables par toutes les operations classiques, ainsi que par produit.

Suites adjacentes

Deux suites sont dit adjacentes si:
1. L'une est croissante et l'autre est décroissantes
2. (\(u_n - v_n\)) \(\rightarrow\) 0
Deux suites adjacentes ont donc la meme limite.

Suites extraites

On appel suite extraite une suite \(v_n\) tel que :
\[ v_n = u_{f(n)} \]
avec \(f(n)\) une fonction extractrice. On a donc \(Im(f) \subset \mathbb{N}\).
Si une suite \(u_n\) converge vers \(l\), toutes les suites extraites convergent vers \(l\).
De toute suite bornée on peut extraire une suite convergente.

Pour prouver qu'une suite est divergente il suffit donc de trouver deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes.

Suite récurrentes

On appel une suite récurrente une suite définie par elle meme. Par exemple :
\[ u_{n+1} = f(u_n) \]
On a alors quelques cas particuliers :

• Si \(f\) est de la forme \(x \to x+r\), \(u_n\) est une suite arithmétique
• Si \(f\) est de la forme \(x \to \lambda x\) , \(u_n\) est une suite géométrique
• Si \(f\) est de la forme \(x \to \lambda x+r\), \(u_n\) est une suite arithmético-géométrique

De plus :

• si \(f\) est croissante, \(u_n\) est monotone
• si \(f\) est décroissante, \(u_{2n}\) et \(u_{2n+1}\) sont monotones de sens contraires.

On as alors que, si \(u_n\) est convergente, sa limite \(l\) est un point fixe, c'est a dire :
\[ f(l) = l \]
La forme \(u_{n+1} = f(u_n)\) est une suite récurrente d'ordre 1. On peut aussi considérer des suites récurrentes de la forme \(u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n\). Une expression de la forme peut être convertie en suite "classique" de la manière suivante :

• On étudie l'équation caractéristique \(r^2 = ar + b\)
  • Si \(r\) admets deux solutions distinctes :

\(u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n, \quad (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2\)

- Si \(r\) admets une racine double : \(u_n = (\lambda + \mu n)r^n, \quad (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2\)

- Si \(r\) admet des racines complexes conjuguées de la forme \(re^{ia}, re^{-ia}\) \(u_n = r^n(\lambda cos(na) + \mu sin(na))\)

Cette méthode de résolution est proche de celle des equations différentielles.