Notations

\(\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k\) ce note `\displaystyle \sum{k=0}

n a

k`
\(\displaystyle \prod_{k=0}^n a_k\) ce note `\displaystyle \prod{k=0}

n a

k`

\(k\) est un indice. Les produits et les sommes peuvent aussi être représenté avec des ensembles. dans ce cas, la somme n'est pas indexée.

Propriétés

Les sommes sont linéaires
\[ \displaystyle \sum_{k=0}^{n}(\lambda a_k + \mu b_k) = \lambda \sum_{k=0}^{n}a_k + \mu \sum_{k=0}^n b_k \]
Les produits de sommes
\[ \displaystyle (\sum_{k=0}^n a_k)(\sum_{i=0}^m b_i) = \sum_{k=0}^n (\sum_{i=0}^m a_k b_i) \]
Les facteurs d'un produits se regroupent
\[ \prod_{k=0}^n(a_k b_k) = (\prod_{k=0}^n a_k)(\prod_{k=0}^n b_k) \]

Changement d'indice

Si une somme ou un produit est indexé, on peu effectuer un changement d'indice.
C'est a dire, réécrire la meme somme (ou produit) sans en changer les termes (ou facteurs)

Télescopage

L'idée est de simplifier la somme (ou produit) en faisant apparaître des termes s’annulant.
Par exemple :
\[ \sum_{k=m}^{n-1} (z_{k+1} - z_{k}) = (\sum_{k=m}^{n-1} z_{k+1}) - (\sum_{k=m}^{n-1} z_{k}) = (\sum_{k=m+1}^{n} z_{k}) - (\sum_{k=m}^{n-1} z_{k}) = z_n + 0 -z_m \]

Résultats classiques

avec \((a,b) \in \mathbb{R}^2\) et \(n \in \mathbb{N}^*\)

• \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\)
• \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\)
• \(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}\)
• \(\displaystyle \sum_{k=1}^n a^k = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}\)
• \(a^n - b^n = (a-b)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k\)

Sommes doubles

Une somme double est une somme utilisant deux indices.
\[ S = \displaystyle \sum_{i \in I, j \in J} a_{ij} \]
On peut la comparer a du code sous la forme :

S = 0
for i in I:
	for j in J:
		S += a[i][j]

Somme triangulaire

Une somme triangulaire est une somme double dont le second indice est limité par le premier. On l'appel ainsi car on peut représenter cette somme comme la somme d'une matrice triangulaire.

\[ \displaystyle S = \sum_{0 < i \le j \le n} a_{ij} \]
\[ \displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ . & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ . & . & a_{33} & a_{34} \\ . & . & . & a_{44} \\ \end{pmatrix} \]
En code

#n un entier
S = 0
for i in range(1, n):
	for j in range(i, n):
		S += a[i][j]

Somme par partition

Si on veux sommer tous les elements d'un ensemble \(E\), on peut sommer les éléments d'une partition de \(E\).
Ainsi, en utilisant les sommes triangulaires comme exemples :
\[ \displaystyle S = (\sum_{0 < i \le j \le n} a_{ij}) + (\sum_{0 < j < i \le n} a_{ij}) = \sum_{0 < j , i \le n} a_{ij} \]