Définition

L'ensemble \(\mathbb{C}\) des complexes est l'ensembles des nombres sous la forme:
\[ \mathbb{C} = \{x + iy, (x,y)\in \mathbb{R}^2 \} \]
avec \(i\) le nombre tel que \(i^2 = -1\).
On appel le conjugué d'un complexe \(z = a + iy\) est \(\overline{z} = a - iy\)
On a que \(z \overline z = x^2 + y^2\)
Une autre façon d’écrire les nombres complexe est leur écriture exponentielle :
\[ z = \lambda e^{i \theta} \]
avec \(\lambda\) un réel positif appelé module de \(z\), noté \(\mid z \mid\); et \(\theta\) un réel \(\in [0, 2\pi]\) appelé argument. L'interprétation de cette écriture est liée au cercle unitaire.
On représente souvent les nombres complexes comme des points d'un plan complexe, d'origine \(0\) et de directions \((1,i)\).
Dans le plan complexe, on note l'ensemble des points sur le cercle unitaire l'ensemble \(\mathbb{U}\).

Inégalité triangulaire

Pour tout \((z, z') \in \mathbb{C}^2\),
\[ \mid{z+z'} \mid \space \le \space \mid z \mid + \mid z' \mid \]

Formule de Moivre

\[ (cos \theta + i \cdot sin \theta)^n = cos(n \theta) + isin(n\theta) \]
Celle ci nous permet d'avoir \(cos(n \theta)\) et \(sin(n \theta)\) en fonction de \(cos \theta , sin \theta\).