Définition

L'intégrale d'une fonction \(f\) est l'air algébrique sous la courbe entre deux bornes.

Les intégrales sont linéaires et respectent la relation de Chasles.
On appel la fonction qui, une fois dérivée donne \(f\), la primitive de \(f\).
On ne peut intégrer que les fonctions continues par morceaux.

Cette page explique l'intégration continue, pour l'intégration discrète voir cette page.

Théorème fondamental de l'analyse

\[ F(x) = \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx \]

Calcul d'une intégrale

\[ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \]
Pour la majorité des intégrales usuelles, il faut juste lire les dérivées usuelles.

Intégration par parties

\[ \displaystyle \int_a^b u'(x)v(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x), dx \]

Intégrations multiples

Pour intégrer plusieurs fois, on les considères imbriqués.
Par exemple :
\[ \displaystyle V = \int_0^a \int_0^b \int_0^c (x+z) \times y\, dzdydx \]
Pour calculer cela, on commence par \(z\). On considère \(x\) et \(y\) constantes, et on intègre.
\[ \displaystyle V_z = \int_0^c (x+z) y\, dz = y[zx+\frac{1}{2}z^2]_0^c = y(cx + \frac{1}{2}c^2) \]
donc,
\[ \displaystyle V = \int_0^a \int_0^b y(cx + \frac{1}{2}c^2)\, dydx \]
Ensuite, on intègre sur \(y\)
\[ \displaystyle V = \int_0^a \frac{1}{2}b^2(cx + \frac{1}{2}c^2)\, dx \]
Puis sur \(x\)
\[ \displaystyle V = \frac{1}{2}b^2(ca^2 + \frac{1}{2}c^2a) \]