Définition

On appel fraction rationnelle l'équivalent de la division chez les polynômes. Celle si ce note ainsi :
\[ (P, Q) \in \mathbb{K}[X]^2,\quad Q \ne 0,\quad F = {P \over Q} \]
On note \(\mathbb{K}(X)\) l'ensemble des fractions rationnelles.
Les fractions rationnelles forment des groupes munis de l'addition et la multiplication.

Points communs avec les fractions

Tous comme les rationnels, on définit l'équivalence des fractions rationnelles comme suit :
\[ {P \over Q} = {E \over F} \Leftrightarrow P \cdot F = E \cdot Q \]

Si \(F = {P \over Q}\) et \(P\) et \(Q\) sont premiers entre eux, on dit que \(P \over Q\) est un représentant irréductible de \(F\). Il n'existe qu'un seul tel couple \((P, Q)\) a une multiplicative près.

Les opérations entre fractions rationnelles sont les mêmes qu'avec les fractions simple.
Par exemple :
\[ \begin{align} {P_1 \over Q_1} + {P_2 \over Q_2} &= {P_1Q_2 + P_2Q_1 \over Q_1 Q_2} \\ {P_1 \over Q_1} \times {P_2 \over Q_2} &= {P_1 P_2 \over Q_1 Q_2} \end{align} \]

Composition, conjugué et degré

Les fractions rationnels sont stable par composition. En l'occurrence, on définit :
\[ F \circ G = {P \circ G \over Q \circ G} \]
De même, si la fraction est dans \(\mathbb{C}(X)\), on définit aussi le conjugué.
\[ \overline F = {\overline P \over \overline Q} \]
Enfin on définit le degré de \(F\) en fonction de \(P\) et de \(Q\), en effet :
\[ deg(F) = deg(P) - deg(Q) \]
C'est en quelque sorte l'inverse de la multiplication polynomiale.
Les propriétés des opérations entre les degrés sont les mêmes que pour les polynômes.

Zéros et pôles

On appels zéros d'une fractions rationnels les points en lesquels celle-ci s'annule, ce qui équivaut aux points pout lesquels \(P\) s'annule. On voit encore ici un parallèle avec les fractions. En effet, un si son numérateur vaux zéros, alors la fraction entière vaux zéros.
Un pôle est un point pour lequel le dénominateur s'annule. Pour le visualiser, on imagine une fonction de la forme \(\frac{1}{x}\). Quand \(x\) tend vers zéros, la fraction tends vers l'infini. C'est ça un pôle. Une fraction rationnelle n'est pas défini sur les pôles.
Les zéros et les pôles de \(F\) sont donc les racines de \(P\) et \(Q\).
On a alors la même idée de multiplicité que ce soit pour les pôles ou les zéros.