Les formules de Taylor sont des généralisations du théorème des accroissements finis.

I - Taylor-Lagrange

Soit \(f\) une fonction dérivable \(n\) fois, entre \(x\) et \(x_0\), il existe \(c\) tel que :
\[ \begin{align} f(x) = f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) &+ {(x-x_0)^2 \over 2!}f''(x_0) \\&+\quad... \\&+ {(x-x_0)^{n-1} \over (n-1)!}f^{(n-1)}(x_0) \\&+ {(x-x_0)^{n} \over (n-1)!}f^{(n)}(c) \end{align} \]
On remarque que, avec \(n\) qui augmente, le dernier terme tend vers \(0\).

II - Taylor-Young

Soit la même fonction \(f\) dérivable \(n\) fois entre \(x\) et \(x_0\), on a alors :
\[ \begin{align} f(x) = f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) &+ {(x-x_0)^2 \over 2!}f''(x_0) \\&+\quad... \\&+ {(x-x_0)^{n} \over (n-1)!}f^{(n)}(x_0) \\&+ o_{x_0}(x^n) \end{align} \]
Avec ici le terme \(o_{x_0}(x^n)\) une fonction inconnue négligeable devant \(x^n\). C'est ce genre de formule qui sera utilisée dans le chapitre des Développements limités