Définition

La décomposition en éléments simples (DES) est une méthode qui permet d'écrire toute Fractions rationnelles sous la forme d'une somme d'un Polynomes et de plusieurs éléments simples. Celle-ci est très utilisé dans le calcul d'intégrale car elle permet de grandement simplifier la recherche de primitives.

Élément simple

Un élément simple est une fraction rationnelle notée \(\displaystyle \frac{J}{H^k}\) où \(Q\) est irréductible et où \(deg(J) < deg(H)\).

Ecriture formelle

Soit une fraction rationnelle \(\displaystyle F = {P \over Q}\). On a que \(Q\) est un produit de facteurs irréductibles (de la même manière que chaque entier est produit de facteurs premiers). On note ces facteurs \(H_i\) tel que
\[ Q = \prod_{i=1}^n H_i^{m_i} \]

Pour garder en tête la comparaison avec les entiers, c'est l'équivalent d'écrire que \(2^2 \times 3 \times 5^3 = 1500\).

Il existe alors \(E \in \mathbb{K}[X]\) appelé partie entière, équivalent au quotient de la division euclidienne de \(P\) et \(Q\).
Il existe aussi \(R_{i,k} \in \mathbb{K}[X]\) tel que \(deg(R_{i,k} < k\times deg(H_i)\).
Ainsi, la DES complète s'écrit
\[ \displaystyle F = E + \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^{m_j} {R_{i,k} \over H_j^k} \]

Méthode

on considère une fraction \(\displaystyle F = {P \over Q}\)

I - Partie entière

Par définition, la partie entière le quotient de la division euclidienne de \(P\) par \(Q\). Soit \(R\) le reste de cette division, on a alors :
\[ F = E + {R \over Q} \]

II - Recherche des coefficients

1 - Pôle simple

On considère \(a\) une racine simple de \(Q\), alors on cherche une écriture de la forme :
\[ \lambda \over X - a \]
Pour ce faire, on multiplie \(F\) par \((X - a)\) puis on évalue en \(a\). Ceci nous donne exactement \(\lambda\).

2 - Pôle multiple

La méthode est similaire, bien qu'une différence est a noté. Ici, on considère \(a\) une racine de multiplicité 2 ou plus. On a alors
\[ F = E + {a_1 \over X-a} + {a_2 \over (X-a)^2} + ... + + {a_n \over (X-a)^n} + S \]
avec \(S \in \mathbb{K}(X), \space S(a) \ne 0\), la suite de la DES.
La méthode est ensuite quasiment la même que pour les pôles simples. On détermine d'abord \(a_n\) en multipliant \(F\) par \((X - a)^n\). On évalue en \(a\) pour obtenir \(a_n\).
On soustrait alors \(\displaystyle a_n \over (X-a)^n\) à \(F\). On recommence pour \(a_{n-1}\).

III - Autres méthodes

• Evaluer \(F\) en quelques valeurs simple peu permettre de trouver des relation entre les coefficients.
• La pratique de multiplier par le dénominateur d'un élément simple peut aussi servir si le nominateur n'est pas un scalaire.