Définition

Soit une fonction \(f\) définie sur \(D\) un intervalle de \(\mathbb{R}\), on dit que celle-ci est continue en \(x_0\) si :

• elle admet une limite a droite en \(x_0\)
• elle admet une limite a gauche en \(x_0\)
• \(\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)\)

Pour résumer :


Si une fonction n'est pas continue, on dit qu'elle est discontinue.
Il existes différentes Espèces de discontinuités.

Définition des limites finies

Soit la fonction \(f\) définie sur \(D\), on dit que \(f\) admet une limite en \(x_0\) si
\[ \forall \epsilon > 0, \exists \mu > 0, \forall x \in D, |x - x_0| < \mu \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \]
En des termes plus compréhensibles,

Pour toute précision \(\epsilon\), il doit exister une précision \(\mu\) sur les antécédent tel que les images des antécédents autour de \(x_0\) a \(\mu\) près, sont toutes a \(\epsilon\) près de \(f(x_0)\)

Ainsi, si \(f\) admet une limite en \(x_0\), celle ci vaux \(f(x_0)\)

Prolongement par continuité

On considère \(f\) discontinue d'ordre 1, cet a dire que ses limites a gauche et a droite de \(x_0\) sur \(D \backslash \{x_0\}\) sont finis. Si ses limites a gauche et a droite de \(x_0\) sont égales, on dit que \(f\) est prolongeable par continuité.
Cet a dire qu'on peut poser une fonction \(\tilde f\) défini par :
\[ \tilde f(x)= \begin{cases} f(x),& x \ne x_0 \\ \lim_{x \to x_0} f(x), & \text{otherwise} \end{cases} \]
Un exemple utile en physique est la fonction sinus cardinal
\[ S(x) = {sin(x)\over x} \]
\(S\) n'est pas défini en 0, mais on la prolonge par continuité tel que :
\[ \tilde S(x)= \begin{cases} {sin(x)\over x},& x \ne 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases} \]

Caractérisation séquentielle

Parfois, pour étudier la limite d'une fonction en un point \(x_0\), il est plus facile de le faire via une suite qui tend vers \(x_0\). Ce procédé s'appelle la caractérisation séquentielle. Le théorème s'écrit ainsi :
\[ f \text{ admet une limite } l \text{ en } x_0 \Leftrightarrow \{ \forall(u_n)_{n\in \mathbb{N}}, \lim u_n = x_0 \Rightarrow \lim f(u_n) = l \} \]
Dans la pratique, cela sert surtout a prouver qu'une fonction est discontinue en un point, en utilisant les suites extraites.

Espèces de discontinuités

On considère ici que \(f\) est discontinue. Il existe alors différent types de discontinuités qui permettent d'étudier les fonctions. Pour calculer les limites ici, on considère les limites sur \(D \backslash \{x_0\}\)

Discontinuité de première espèce

Si les limites de \(f\) a droite et a gauche de \(x_0\) sont finis on a alors une discontinuité de premier ordre.

Discontinuité de deuxième ordre

Si une des limites de \(f\) (a droite ou a gauche) de \(x_0\) est l'infinie (+ ou -), alors on a une discontinuité d'ordre 2.